よく切った2セットのトランプの並びが全く同じになる確率はものすごく低い

How many ways can you arrange a deck of cards? #1/1

52枚のトランプを1列に並べるとき、この並び方がどのくらいの種類があるかご存知でしょうか? 恐らく、みなさんが想像している数よりも多いです。例えば、4人の人が1列に並んだときの列の種類の数を考えたとき、24種類になります。これは可能な座り方のすべてを書き出せばわかるのですが、これを52枚のトランプでやることは数が多すぎてできません。しかし、ある公式を当てはめれば、例え52枚のトランプの並び方の種類も簡単に計算することができるのです。では、その公式とは一体どのようなものなのでしょうか? そして、実際のトランプの並び方の種類はどのくらいあるのでしょうか? みなさんも計算してみてください。(TED-Edより)

52枚のトランプが同じ並び方になることは2度とない

トランプの中からカードを一枚引いてください。どのカードでも構いません。 というより、カードを全部手にとって、どのように並んでいるか一度見てください。

この52枚のカードでできたトランプは何世紀にもわたって使われてきました。これと同じようなトランプが毎日世界の何千というカジノでシャッフルされ、その度に並び方が変わります。

しかし、よく切られたトランプを手にしたとき、それとまったく同じ配列のトランプは恐らくいまだかつて歴史上存在していないのです。

なぜそう言えるのでしょう。答えは、52枚のカード、あるいはカードでなくても何でもいいのですが、それらの配列の仕方が何通りあるかということに隠されています。

52という数字はあまり大きくないように見えるかもしれませんが、とりあえず、もっと小さい数から始めてみましょう。例えば、4人の人が、番号の付いた4つの椅子に座るとしましょう。座り方は何通りあるでしょうか。

4人のうちの誰でも最初の椅子に座ることができます。1人の人が座ると、3人立っていることになります。2人目の人が座ると、残りの2人のどちらかが3番目の椅子に座ることになります。そして、3番目の人が座ると、最後の人は4番目の椅子に座ることしかできません。

並び方の数を簡単に導き出す方法

可能な座り方のすべて──数学用語で順列と言いますが──それをすべて書きだしてみると、24通りあることがわかります。しかし、4つならいいですが、数が増えるにつれて、書き出していくのには大変な時間がかかります。そこで、もっと早く計算する方法はないか考えてみましょう。

元に戻ってもう一度見てみると、最初の椅子には4つの選択肢があり、その各々の選択肢について、次の椅子に座る3つの選択肢があります。さらに、その各々の選択肢について、3番目の椅子に座る選択肢が2つずつあります。

ですから、最終的な座り方の一つ一つを数えていくのではなく、それぞれの椅子に座れる選択肢の数を掛け合わせると、4×3×2=24で同じ答えを出すことができます。

面白いパターンがわかってきました。配列するものの総数、今の場合は4ですが、それに、それより1つ小さい整数を、順番に、最終的に1になるまで掛けていけばいいのです。

これは驚くべき発見でした。そのため、数学者たちは、この階乗と呼ばれる計算を表す記号として、感嘆符(!)を使うことにしたのです。

原則として、正の整数の階乗はすべて、その整数とそれより小さいすべての整数を1になるまで掛け合わせた積として計算されます。 今の簡単な例の場合、4人の人が4つの椅子に座る座り方の数は4!と表され、24になります。

トランプのすべての並び方を試すと、宇宙の歴史よりも長くなる

それでは、トランプの場合に戻ってみましょう。4人の座り方が4の階乗で表されるのと同じように、52枚のカードの配列は52の階乗として表すことができます。

ありがたいことに、これを手で計算する必要はありません。数式を計算機に掘り込めばいいのです。すると、カードの配列の総数は8.07 × 10の67乗、つまりおよそ、8の後に10が67個付いた数になります。

これは一体どれくらい大きな数なのでしょうか。

ビッグバンは今から138億年前に起こったとされていますが、仮にその時から毎秒1つの割合で52枚のカードの新しい組み合わせを書き始めたとしましょう。なんとそれでも、いまだに書き終わっておらず、今後さらに何百万年も書き続けないといけないのです。

それどこか、実は、地球に存在する原子の総数よりも多いのです。

今度カードをシャッフルする機会があれば、自分の手の中にあるものは、今までに存在したことがなく、これからも恐らく存在しないものなのだということを思い起こしてください。

<続きは近日公開>

Published at

このログの連載記事

1 よく切った2セットのトランプの並びが全く同じになる確率はものすごく低い
2 近日公開予定

スピーカー

関連タグ

人気ログ

ピックアップ

編集部のオススメ

ログミーをフォローして最新情報をチェックしよう!

人気ログ

ピックアップ

編集部のオススメ

そのイベント、ログしないなんて
もったいない!

苦労して企画や集客したイベント「その場限り」になっていませんか?